Использованием математических методов можно составить план перевозок (откуда, куда и сколько единиц везти), чтобы все заявки были выполнены, а общая стоимость всех перевозок была минимальна.
Нелинейное программирование Нелинейное программирование занимается оптимизацией моделей задач, в которых либо ограничения, либо показатель эффективности (целевая функция), либо то и другое нелинейны. К методам нелинейной оптимизации можно отнести:
аналитические, использующие методы дифференциального и вариационного исчисления. Они применяются при отсутствии ограничений и при их наличии типа равенства и(или) неравенства;
численные;
графические, базирующиеся на графическом представлении функций, подлежащих максимизации или минимизации;
методы исследования возможных вариантов, основанные на идее генерирования возможных вариантов с целью выбора наилучшего из них;
экспериментальные (они в настоящее время выделены в новое направление — математическую теорию планирования эксперимента).
Лример задачи:
1. При переезде в новый город возникает необходимость доставки к новому месту жительства домашних вещей. При этом известна цена каждой вещи, ее вес и габариты.
Количество и вид домашних вещей, которые мы можем увезти, лимитируются грузоподъемностью машины или размерами контейнера.
В ходе решения задачи из всего набора предметов выбираются наиболее ценные (с максимальной суммарной стоимостью предметов), вес которых укладывается в грузоподъемность.
Задачи нелинейного программирования на практике возникают довольно часто, например, когда затраты растут непропорционально количеству закупленных или произведенных товаров (эффект «оптовости»). Многие нелинейные задачи могут быть приближенно заменены линейными (линеаризованы), по крайне мере, в области, близкой к оптимальному решению.
Подробно с методами решения задач нелинейного программирования можно ознакомиться по руководствам [10, 11, 58, 64].
Динамическое программирование Динамическое программирование (динамическое планирование) представляет собой математический метод оптимизации решений, специально приспособленный к так называемым многошаговым (или многоэтапным) операциям. Многие экономические процессы естественным образом расчленяются на шаги. К ним можно отнести планирование и управление, развиваемые во времени. Шагом в них может быть пятилетка, год, месяц, день. В других операциях разделение на шаги приходится вводить искусственно: например, процесс вывода ракеты на орбиту можно условно разбить на этапы, каждый из которых занимает какой-то временной отрезок.
Процесс в данном случае является управляемым, ибо на каждом шаге принимается определенное решение, от которого зависит успех данного шага и операции в целом.
Управление как бы складывается из ряда элементарных, «шаговых» управлений.
В экономической практике встречаются задачи, которые по постановке и методам решения относятся к задачам динамического программирования: оптимального перспективного и текущего планирования, распределения тех или иных ресурсов, распределения ресурсов и вложения их в производство и т. п.
Мы не будем утруждать вас формулами и лишь предложим познакомиться с отдельными задачами, решаемыми методом динамического программирования.
1. Задача перспективного планирования
Планируется деятельность промышленного объединения, состоящего из нескольких предприятий, на период реализации поставленных целей. Необходимо распределить имеющиеся ресурсы, которые в последующем расходуются и получается прибыль. Периодически средства могут перераспределяться. Возникает задача распределения средств между предприятиями, обеспечивающими максимальную прибыль всего объединения.
2. Задача об оптимальном управлении поставками
В различных экономических, хозяйственных ситуациях возникает задача выбора момента подачи партии поставки и ее объема. С размещением заказов связаны некоторые фиксированные затраты, не зависящие от величины заказываемой партии, а зависящие только от факта заказывания. С содержанием материальных ресурсов связаны затраты, пропорциональные остатку нереализованной продукции.
При решении этой задачи из множества возможных управлений выбирается такое, при котором достигается минимум издержек на заказывание и содержание материальных ресурсов.
Из приведенных примеров можно выделить типичные особенности многошаговых задач.
Рассматривается система и ее состояние на каждом шаге без учета того, каким путем она пришла в него.
На каждом шаге выбирается одно решение, под действием которого система переходит из предыдущего состояния в новое.
Действие на каждом шаге связано с определенным выигрышем (прибылью) или с потерей (издержками), зависящими от состояния на начало шага и принятого решения.
На показатели состояния и управления могут быть наложены ограничения, определяющие область допустимых решений.
В ходе решения находится допустимое управление для каждого шага, позволяющее получить (экстремальное) значение функции цели за необходимое количество шагов.
Последовательность действий персонала управления, на каждом шаге переводящая систему из начального состояния в конечное, называют стратегией управления.
Методы динамического программирования используются при расчетах сетевых графиков, что будет рассмотрено при знакомстве с сетевым планированием и управлением.
Методы теории массового обслуживания При исследовании операций часто приходится иметь дело с системами массового обслуживания (СМО). К ним можно отнести: справочные бюро, магазины, парикмахерские, телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы и т. п. Каждая
СМО — это набор из единиц обслуживания (каналов): линии связи, рабочие места, приборы, железнодорожные пути, автомашины, лифты ит.д. Эти системы могут быть одноканальными или многоканальными и предназначены для обслуживания (выполнения) потока заявок (требований), поступающих в случайные моменты времени.
Случайный характер потока заявок приводит в какое-то время к их скапливанию, образованию очереди. В другие периоды времени СМО может и простаивать. Каждая СМО, в зависимости от числа каналов, их производительности и характера потока заявок, обладает пропускной способностью.
Методы теории массового обслуживания позволяют установить зависимости между характером потока заявок, числом каналов, их производительностью, правилами работы СМО и эффективностью обслуживания. Эти методы позволяют математически описать случайный характер потока заявок и длительности обслуживания — создать математическую модель. К методам теории массового обслуживания относятся: методы теории вероятности, методы марковских и полумарковских (вложенных цепей Маркова) процессов и др.
Подробно познакомиться с применением методов теории массового обслуживания можно в работах [8, 41], а мы ограничимся приведением ряда примеров.
Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занят один с небольшим канал из трех — остальные два будут простаивать. Этой ценой добывается сравнительно высокий уровень эффективности обслуживания — около 91 % всех поступивших вызовов будет обслужено.
Методы теории расписаний
Раздел исследования операций, изучающий эффективность выполнения операций в зависимости от порядка следования, называется теорией расписания.
На производстве, с точки зрения технологии, бывает безразличен порядок выполнения тех или иных операций, однако этот порядок играет существенную роль для конкретного исполнителя. Это вызывается как приоритетностью заказов, так и затратами, связанными с различным порядком их выполнения на имеющемся оборудовании.
Одной из первых математических моделей теории расписаний является известная в теории запасов простейшая модель оптимальной партии поставки, которую можно использовать для определения оптимальной партии выпуска изделий. Задачи связаны с упорядочением операций. Они возникают при выборе очередности их выполнения.
Типичной задачей теории расписаний является проблема составления расписания работы технологической линии, состоящей
Модели управления производством и запасами
Под запасами понимается все, что имеет спрос и временно выключено из потребления. Это могут быть запасы материальных ресурсов, денежных средств, мощностей, трудовых ресурсов и т. д. Материальные запасы играют большую роль в производственном процессе. Запасы на пути движения от поставщика к потребителю образуют совокупные запасы. Они делятся на товарные и производственные. Товарные — это часть совокупных запасов, которые находятся в обращении. Это могут быть: запасы готовой продукции, предназначенные к отправке; запасы, сосредоточенные на промежуточных складах (складские); запасы «в пути» — транспортные. Производственные — это часть совокупных запасов, находящихся непосредственно у потребителей, но не вступивших в производственный процесс. Они призваны уменьшить зависимость технологического процесса от характера материальных поставок.
Для определения оптимальных партий поставок и уровней запасов применяется принцип оптимальности. Он означает нахождение наиболее экономичных размеров запасов, с общефирменных позиций, в каждом звене товаропроводящей сети.
В задаче управления запасами рассматриваются два вида затрат, находящихся в прямой и обратной зависимости от величины отдельных параметров системы. Затраты по завозу товаров увеличиваются по мере уменьшения интервала между двумя поставками и снижения размера партии. Затраты по хранению возрастают по мере увеличения этих параметров. Издержки, связанные с работой системы управления запасами, подразделяются на: затраты по формированию запасов; издержки, связанные с содержанием запасов; потери из-за отсутствия запасов или несвоевременных поставок.
Приведем модели управления запасами.
1. Модели оптимального размера партии поставки
Пример 1. При строительстве моста длиной 500 м через реку расходуются специальные тяжи из прочной стали (130 кг/м).
Срок сооружения моста — 130 суток. Расход тяжей — равномерный. Тяжи доставляются автомашиной грузоподъемностью 5 т, которая, как правило, загружается не полностью. Стоимость рейса, включающая погрузочно-разгрузочные работы, не зависит от числа доставленных тяжей и равна 10 тыс. грн. Издержки содержания тяжей обусловлены возведением приобъектового склада, его эксплуатацией и потерями при хранении. Они составляют 1,1 тыс. грн. за 1 т тяжей в сутки.
Определить оптимальные: партию поставки, интервал возобновления заказов, издержки работы в течение периода строительства.